Binómio de Newton

Introdução

    Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

    Se quisermos calcular , podemos adoptar o mesmo procedimento:

(a + b)⁴ = (a + b)³ (a+b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) (a+b)

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

    De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .
    Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
    Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binómio, conhecido como binómio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais

    Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

    O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as fracções, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:

      É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

   Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais

   Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

   Exemplos:

   Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

   Exemplos:

Triângulo de Pascal

A  disposição  ordenada  dos números   binomiais,   como  na tabela ao lado, recebe  o  nome   de Triângulo de Pascal

    Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
    Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.

    Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Construção do triângulo de Pascal

    Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele
      que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação
      de Stifel).

        Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

Propriedade do triângulo de Pascal

P1   Em Qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais.

   De fato, esses binomiais são complementares.

P2   Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .

   De modo geral temos:

P3   Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

P4    Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

Fórmula do desenvolvimento do binómio de Newton

   Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binómio de Newton. Além disso:

• quando n = 0 temos
• quando n = 1 temos
• quando n = 2 temos
• quando n = 3 temos
• quando n = 4 temos

    Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:

   De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binómio de Newton:

    Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui     n + 1 termos.

Fórmula do termo geral do binómio

   Observando   os   termos   do  desenvolvimento   de   (a + b)ⁿ,   notamos  que  cada    um   deles   é   da   forma .

• Quando p = 0 temos o 1º termo:

• Quando p = 1 temos o 2º termo:

• Quando p = 2 temos o 3º termo:

• Quando p = 3 temos o 4º termo:

• Quando p = 4 temos o 5º termo:
  ..............................................................................

   Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por: