Rectas

Geometria analítica: rectas

Introdução

   Entre os pontos de uma recta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de recta corresponde um único número real e vice-versa.

   Considerando uma recta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa recta ( origem) e um segmento u, unitário e não nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de recta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento 

   Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais x_A e x_B , temos:

    A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abcissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano

   A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

   Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, recta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.

   Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

    Exemplos:

• A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (x_A > 0 e y_A > 0
• B)-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( x_B < 0 e y_B < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos

   Dados os pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) e sendo d_AB a distância entre eles, temos:

   Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Razão de secção

   Dados os pontos A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) de uma mesma recta , o ponto C divide numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:

em que , pois se , então A = B.

   Observe a representação a seguir:

    Como o , podemos escrever:

    Vejamos alguns exemplos:

• Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide é:

    Se calculássemos r_p usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:

• Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:

   Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado contido em um eixo, temos:

• se P é interior a , então r_p > 0  

• se P é exterior a , então r_p < 0

• se P = A, então r_p =0

• se P = B, então não existe r_p (PB = 0)

• se P é o ponto médio de , então r_p =1

Condições de alinhamento de três pontos

   Se três pontos, A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), estão alinhados, então:

            Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:

a) três pontos alinhados horizontalmente

    Neste caso, as ordenadas são iguais:

y_A = y_B = y_C

e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.

b) três pontos alinhados verticalmente

    Neste caso, as abcissas são iguais:

x_A = x_B = x_C

 e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.

c) três pontos numa recta não paralela aos eixos

Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

Desenvolvendo, vem:

Como:

então .

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então os pontos A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e C(x_C, y_C) estão alinhados.

Equações de uma recta

Equação geral

   Podemos estabelecer a equação geral de uma recta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

   Dada uma recta r, sendo A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

    Fazendo y_A - y_B = a, x_B - x_A = b e x_Ay_B - x_By_A=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

(equação geral da recta r)

   Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da recta. Assim, dado o ponto P(m, n):

• se am + bn + c = 0, P é o ponto da recta;

• se am + bn + c 0, P não é ponto da recta.

                                        Acompanhe os exemplos:

• Vamos considerar a equação geral da recta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

        Considerando um ponto P(x, y) da recta, temos:

• Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à recta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

   Como a igualdade é verdadeira, então P r.

   Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0

   Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

Equação segmentaria

   Considere a recta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

   A equação geral de r é dada por:

    Dividindo essa equação por pq  , temos:

    Como exemplo, vamos determinar a equação segmentaria da recta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

Equações paramétricas

   São equações equivalentes à equação geral da recta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da recta com um parâmetro t.

   Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma recta r.

   Para obter a equação geral dessa recta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:

 x = t + 2 t = x -2

   Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:

y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0  ( equação geral de r)

Equação Reduzida

   Considere uma recta r não paralela ao eixo Oy:

   Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:

    Fazendo , vem:

   Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

   Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.

Coeficiente angular

   Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:

    O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a recta r. Desse modo, temos sempre .

            Assim:

• para ( a tangente é positiva no 1º quadrante)

• para ( a tangente é negativa no 2º quadrante)

            Exemplos:

Determinação do coeficiente angular

        Vamos considerar três casos:

a) o ângulo é conhecido

b) as coordenadas de dois pontos distintos da recta são conhecidas: A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B)

Como ( ângulos correspondentes) temos que .

Mas, m = tg     Então:

Assim, o coeficiente angular da recta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:

c) a equação geral da recta é conhecida

Se uma recta passa por dois pontos distintos A(X_A, Y_A) e B(X_B, Y_B), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:

(Y_A - Y_B)x + (X_B - X_A)y + X_AY_A - X_BY_B = 0

Da equação geral da recta, temos:

Substituindo esses valores em  , temos:

Equação de uma recta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r

   Seja r uma recta de coeficiente angular m. Sendo P(X₀, Y₀), P r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(QP), podemos escrever:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da recta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X₀=1  e Y₀=2. Logo:

y-y₀=m(x-x₀)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0

que é a equação geral de r.

Representação gráfica de rectas

   Para representar graficamente as rectas de equação ax + by + c = 0 ( b0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da recta.

   Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.

Coordenadas do ponto de intersecção de retas

   A intersecção das rectas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas rectas.

   Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das rectas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

    Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:

1 - y = -1

y = 2

   Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das rectas r e s.

Graficamente, temos:

Posições relativas entre retas

Paralelismo

   Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.

 Retas

Concorrência

   Dadas as retas r: a₁x +b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:

        Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:  

Perpendicularismo

        Se r  e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho:

Ângulo entre duas rectas

   Sendo r e s duas rectas não verticais e não perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo , temos:

    Dependendo da posição das duas rectas no plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo:

    Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois . O ângulo obtuso será o suplemento de .

Distância entre ponto e recta

   Dados um ponto P(x₁, y₁) e uma recta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (d_pr)é dada por:

Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à recta r: x - 2y + 1 = 0.

Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2  e  c=1. Assim:

Bissectrizes

   Dadas as rectas concorrentes r: a₁x + b₁y + c₁ = 0  e  s: a₂x + b₂y + c₂ = 0,  que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissectrizes, PQ, então P é equidistante de r e s:

        Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissectriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra.

       Vejamos um exemplo:

        Se r: 3x + 2y - 7 = 0  e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissectrizes são: