FUNÇÃO MODULAR

·        Módulo (ou valor absoluto) de um número

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

Então:

à se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.

      Exemplos:  | 2 | = 2  ;  | 1/2 | = | 1/2 |  ;  | 15 | = 15

à se x é negativo, | x | é igual a -x.

      Exemplos:  | -2 | = -(-2) = 2  ;  | -20 | = -(-20) = 20

O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.

Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:

·        Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a Û -a < x < a.

·        Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a Û x > a ou x < -a.

·        Equações modulares

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.

Exemplos:

a)      | x²-5x | = 1

b)      | x+8 | = | x²-3 |

Algumas equações modulares resolvidas:

1)      Resolver a equação | x²-5x | = 6.

Resolução: Temos que analisar dois casos:

caso 1:  x²-5x = 6

caso 2:            x²-5x = -6

Resolvendo o caso 1:

x²-5x-6 = 0  =>  x’=6 e x’’=-1.

Resolvendo o caso 2:

x²-5x+6 = 0  =>  x’=3 e x’’=2.

            Resposta:  S={-1,2,3,6}

2)      Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.

Resolução: Temos que analisar dois casos:

caso 1:  x-6 = 3-2x

caso 2:            x-6 = -(3-2x)

Resolvendo o caso 1:

x-6 = 3-2x  =>  x+2x = 3+6  =>  3x=9  =>  x=3

Resolvendo o caso 2:

x-6 = -(3-2x)  =>  x-2x = -3+6  =>  -x=3  =>  x=-3

            Resposta:  S={-3,3}

·        Inequações modulares

Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.

Algumas inequações modulares resolvidas:

1)      Resolver a equação | -2x+6 | < 2.

Resolução:

S = {x Î IR | 2<x<4}

2)      Dê o conjunto solução da equação |x²-2x+3| £ 4.

Resolução:

|x²-2x+3| £ 4  =>  -4 £ x²-2x+3 £ 4.

Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo):

Eq.1: -4 £ x²-2x+3

Eq.2: x²-2x+3 £ 4

Resolvendo a Eq.1:

-4 £ x²-2x+3  =>  -4-3 £ x²-2x  =>  -7 £ x²-2x  =>  x²-2x+7 ³ 0  => sem raízes reais

Resolvendo a Eq.2:

x²-2x+3 £ 4  =>  x²-2x-1 £ 0

·        Módulo e raiz quadrada

Consideremos os números reais x e y.

Temos por definição, que

    se e somente se, y² = x e y³0. Daí podemos concluir que

só é verdadeiro se x³0.

Se tivermos x<0, não podemos afirmar que

pois isso contradiz a definição.

Por exemplo, se x=-3, teríamos:

    o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever:

o que é verdadeiro para  todo x real.

    Devemos proceder da mesma forma em relação a todas raízes de índice par:

    Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:

·        Função modular

Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:

Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.

à Determinação do domínio

      Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:

Exemplo 1: Determinar o domínio da função

      Resolução:

      Exemplo 2: Determinar o domínio da função

Resolução:

à Gráfico

            Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:

    Gráfico da função f(x)=|x|: